失業の初回講習を受けて、失業保険のしおりに書いてあった初回認定日にいきました。失業中のアルバイトで、私と同じように解雇になった人が親戚の家でアルバイトをしていました。

失業保険について教えてください。失業の初回講習を受けて、失業保険のしおりに書いてあった初回認定日にいきました。
初回認定日は初回講習の6日後にあり、その初回講習で、初回認定日だけは就職活動一回で大丈夫で、その一回は初回講習が一回にカウントされるため初回認定日は初回講習の一回で良い。その一回を含めて、3ヶ月の給付制限の後にある次回認定日までに3回の就職活動が必要と話しをしていたと思います。
ここからが本題なのですが、初回認定日のときは気にしていなかったのですが、失業認定報告書を改めて見てみると初回講習で書いた初回講習により一回就職活動したと書いたとこが消えており、次の認定日までに3回と書いてありました。
初回講習が一回に含まれるのは初回認定日だけですか？わたしの聞き違いでなければ初回講習も一回と言っていたっ思うのですが、どうなんですか？
また、失業保険受給資格者証の裏に初回認定日に行ったあとに活動...1回と滲んでいて読めないのですがハンコが押してあるのでこれとあわせて3回ということでしょうか？

普通はどこも初回認定日は１回と計算しますよ。
＞1回と滲んでいて読めないのですがハンコが押してあるのでこれとあわせて3回ということでしょうか？
そういうことだと思います。

失業保険の事ですが、60歳定年後、同じ会社でアルバイトとして半年ほど勤めていますが、自己都合で、辞めないといけないのですが、失業保険は、貰えるのでしょうか？この会社には、20年程勤めました

定年で一旦退職して雇用保険は解約されていても1年間は有効ですからアルバイトでの雇用保険がなくても受給はできます。
ただし、定年時に雇用保険を受け取っていないことが条件です。
定年時に雇用保険を受け取っていれば、アルバイトで雇用保険に加入していても自己都合なら12ヶ月必要ですから受給はできません。
追記
定年時に雇用保険を受け取っていなければ受給はできますが6ヶ月経過していますのであと6ヶ月しかありません。（有効期間は1年）それであなたは満20年以上加入では150日の受給が可能ですから今すぐに申請しても申請から受給まで1ヶ月であと5ヶ月の受給期間がありますから6ヶ月の期間が必要でギリギリです。
なので急いで申請する必要があります。

職安の失業保険制度について質問です。自己都合退職者で、初回認定日は１０月の済ませました。（なので、現在給付制限の３ヶ月は軽く過ぎました。）支給されるためには、職安に再び行って何か手続きをしなければいけないのですよね？？そこで支給を受けるためにどんな手続きをするのか、その手続きの日以降また行かなければいけないのか、教えて下さい。お願いします。

初回認定日が10月なら、次の認定日が3ヶ月後での何月何日と指定されていたハズですが、その日に行かなければ給付されませんよ。給付期間も決まっているので（いつまでももらえるわけではない）早く行って相談しないと...認定日から認定日の間に、就職活動をした実績が2回必要です。職安で就職活動をするとハンコを押してもらえるし、実績が残りますが、それもしていないなら難しいですね...。手元に雇用保険受給者資格証がありますか？写真がはっている面に、次回認定日書いていませんか？よくみると、逆面には「受給期間満了年月日」も書いています。それを過ぎたらもらえません。もし、次回認定日が記入してあって、その日に行ってないならもらえないと思う。。どちらにせよ、早めに電話でもいいから確認した方がいいっすよ。

失業中のアルバイトで、私と同じように解雇になった人が親戚の家でアルバイトをしていました。毎日夜に働いているのを目撃され、狭い町なので職安に通報されたそうなんですが、本人は親戚の手伝い
だけでお金は一切もらっていない。と言い、働いているのではなく、遊びに行っていただけだと言って、失業保険をそのままもらっています。あくまでも噂ですが、アルバイト料はもらっているはずだ！と皆噂で話しています。（買い物や旅行へ行くなど羽振りが良い）、先日もその店へ食事に出かけたときに本人はエプロンをして働いていました。本人と話しをしたとき私は働いていないから、たまに忙しかった場合ちょっと手伝うだけだから、職安にもちゃんと話してあるから大丈夫なんだと言ってました。職安には手伝いした日にお金はもらっていないからと×をつけて提出しているそうです。私の様に少しアルバイトしただけでも年末調整がでますが、その親戚店はアルバイト料は他の経費になっているんでしょうかね？そうすれば見つからなくて済むって事ですか？？職安はアルバイト先など調査などしないんでしょうか？

アルバイト料を払っているのか、おこづかいをあげているのか？

おこずかいをあげているならば、店は経費として計上せず。
親戚が所得税を払った分から出せば
税務的には問題はなくなりますね。

補足へ
失業していて暇なので、親戚の所に遊びにいっている。
で、こずかいを貰っていると言えば、それをどうやって否定しますか？
そうなると、もうどうしようもないですよ。

失業保険の申請はどっちでしたほうがよいのでしょうか？
会社を退職し、失業保険を申請する予定ですが今住んでいる所は３週間後に引っ越しして実家に戻る予定です。

今住んでいる所で申請しても実家に戻ってまた申請しないといけないのでしょうか？

もし、会社都合での離職でしたら、申請してから早い時期に給付が始まるので、実家に戻ってから申請したら良いと思いますが、自己都合の場合でしたら、給付制限が3ヶ月有る事を思うと、まず、今住んでいるところで、申請をしておく方がよいと思います。

失業保険給付制限中のバイトについて
アルバイトで週２０時間以上働くと受給ができなくなるそうですが、
失業保険給付制限中ですと、バイトしても申告する必要もないとも記されていました。

ということは、自主都合退職で３ヶ月の制限猶予がかけられている間は、
自由に２０時間を越えたフルタイムのバイトなどをしても（雇用保険などに加入しなければ）そのあとの失業保険受給に影響してこないのでしょうか？

(給付制限)
給付制限期間に於いても、月14日間以上の就労は[失業状態で無い]と判断され、基本手当の受給ができないことがあります。

また、給付制限が満了後の認定日までに最低でも3回以上の求職活動実績が必要です。 3回に満たない場合にも基本手当の受給はできません。

注:退職した同じ会社でのアルバイトは、給付制限中でもその期間は失業状態として認められませんので、給付制限期間が延長となります。(事実を伏せておこなった場合、不正受給行為として処罰の対象となり、以降、雇用保険に関する一切の給付を受けられなくなります)