働いた期間ではないです。・病気やけがのため、すぐには就職できないときとありました。

以前失業保険をもらいましたが再び貰えますか？

去年に会社を辞め、去年の7月まで失業保険をもらい、9月1日から新しい職場で働き初めました。

しかし、家庭の都合により仕事を続けるのが厳しくなりそうなので今年の9月1日で退職しようと思ってます。
色々調べると退職の日から過去1年間雇用保険に加入していれば対象とあったのですが、この場合は再び貰えますでしょうか？
本当は余裕を持って8月の頭に退職したいのですが、この場合だと対象になりませんか？

厳しい経済状況のため、少しでも次の仕事が見つかるまでのサポートがあれば助かるので質問させていただきました。
詳しい方、よろしくお願いいたします。

働いた期間ではないです。
雇用保険の被保険者期間です。
昨年の9月１日就職で今年の9月1日退職で、雇用保険の期間がそれだけあれば12ヶ月ありますから受給ができます。
自己都合退職の場合は12ヶ月必要ですから、8月退職では期間が足りません。

出産の為退職した場合、失業保険はもらえるものですか？
また職業訓練校に行くと給付が長くなるということを聞いたのですが本当ですか？

出産理由の退職で失業のお手当がもらえなくなるということはない代わり、
出産前後の期間は「ただちに再就職できる」ものでもないため、
給付の期間の先延ばしする手続きによって対処しておきます。

職業訓練校に行くと給付が長くなるというより、
その通学期間は、本来個々の求職者が受けられる日数にカウントされずいただける、
というイメージです。

なので、職業訓練校を志望するにあたっても競争倍率や各種のテストということがあります。
詳しくは、HPやハローワークでお聞きになってみてくださいね。。。

失業保険の受給要件に関すること
雇用保険の被保険者が離職して、次の（1）及び（2）の両方の条件を満たすとき、一般被保険者又は短時間労働被保険者については基本手当が支給されます。

（１）ハローワークに来所し、求職の申込みを行い、就職しようとする積極的な意思があり、いつでも就職できる能力があるにもかかわらず、本人やハローワークの努力によっても、職業に就くことができない「失業の状態」にあることが第一です。失業手当は再就職を支援するための手当ですので、職に就く意思の無い人、または就けない人には給付されません。

下記の状態にあるときは、すぐに働くことができる状態にないことから失業手当は支給されませんが、状態が回復する等して働ける状態になれば、その旨を申請して失業給付を受けることができるようになります。なお、これらの場合は受給期間を延長しておくのがセオリーです。

・病気やけがのため、すぐには就職できないとき

とありました。

この場合の「病気」というのは、ハローワークの職員に詳しく説明する必要があるのでしょうか？またこの病気は、
応募先企業にも分ってしまうものなのでしょうか？どなたかご教示願います。

延長の申請するときに「仕事ができない」という医師の診断書、再び受給を開始するときには「もう仕事ができる」という診断書と、合計２通の診断書がいるみたいですよ。ハローワークにはわかってしまいますが、応募先の企業に話すことはさすがにないと思います。